Отношение ассоциированности

Пусть $a \mid b$ и $b \mid a$. Тогда $a$ и $b$ называются **ассоциированными** Обозначение: $a \sim b$ Ясно, что $\sim$ - отношение эквивалентности.

Коммутативное ассоциативное кольцо без делителей нуля называется **областью целостности**

Необратимый элемент $p$ области $D$ называется **неразложимым**, если $p$ не представим как произведение двух элементов, не ассоциированных с $p$. $$\forall a, b, c \in D\mathpunct{:}~~ (p c \ne 1) \land (p = ab \Rightarrow (p \sim a) \vee (p \sim b))$$

Пусть $D$ – область целостности c $1$. Элементы $a, b \in D$ ассоциированы $\iff a = bu$ для некоторого обратимого $u \in D$.

$\Large\implies$ Пусть $a \sim b$. Тогда $a|b$ и $b|a$, т.е. $a=bc$ и $b=ad$ для некоторых $c, d \in D$. Подставляя, получаем: $$a = (ad)c = a(dc) \implies a(1-dc)=0$$ Тогда: - Если $a=0$, то $b=0 \cdot d=0$. Тогда $a=b \cdot 1$, где $1$ обратим. - Если $a \neq 0$, то, так как в $D$ нет делителей нуля, $1-dc=0 \implies dc=1$. Это означает, что $c$ обратим и является искомым. $\Large\impliedby$ Пусть $a = bu$, где $u \in D$ обратим. Тогда $b \mid a$. Поскольку $u$ обратим, $u^{-1}$ существует. Из $a=bu$ следует $au^{-1}=b$, значит $a \mid b$. Следовательно, $a \sim b$ $\square$